fragen-2015-03.txt

* Im konstruktiven Umgang mit abgeleiteten Kategorien gibt es zwei verwandte,
  aber verschiedene Probleme.

  Das eine Problem betrifft, in abgeleiteten Kategorien zu rechnen, also zum
  Beispiel Kegel zu konstruieren und Morphismen oder Objekte auf Nullheit zu
  testen.

  Das andere Problem betrifft, abgeleitete Funktoren zu berechnen.

  Das erste Problem ist in vielen Fällen leicht lösbar, etwa für die
  beschränkte abgeleitete Kategorie der kohärenten Moduln über einem Ring, der
  auch konstruktiv endliche homologische Dimension hat (wie zum Beispiel Z oder
  k[X_1,...,X_n]). In diesen Fällen kann man (konstruktiv) zu jedem
  beschränkten Komplex einen quasiisomorphen beschränkten Komplex bestehend aus
  Projektiven finden.

  Damit kann man auch beliebige Linksableitungen von Funktoren berechnen.

  Mir ist aber unklar, wie man Rechtsableitungen berechnen kann; genügend viele
  Injektive gibt es konstruktiv ja nicht.

  In der Literatur wurde das Problem von nicht genügend vielen Injektiven
  natürlich auch schon untersucht (in einem klassischen Kontext). Dort kann es
  durch Übergang zu Ind-Kategorien gelöst werden, in denen ein Argument über
  Erzeuger zeigt, dass diese genügend viele Injektive besitzen. Dieser Zugang
  scheint aber konstruktiv (und algorithmisch) nicht praktikabel.

* "Betrachte Y --> X = Y/G. Gilt dann Aut D(Y) = G semidirekt Aut D(X)?
  Nein, im Allgemeinen nicht. Ein Gegenbeispiel liefert schon Y = P^1 x P^1,
  X = (P^1 x P^1)/S_2 = S^2 P^1 = P^2."

  "Diese Analyse ist nur für die klassische abgeleitete Kategorie korrekt.
  Für die dg-Variante klappt das Gegenbeispiel nicht. (Behauptet Marc.)"

  Das stimmt, glaube ich, nicht: Denn X und Y haben anti-amples kanonisches
  Bündel. Also sind alle Automorphismen von FM-Typ und existieren damit auch
  auf dg-Niveau. Außerdem legen unterschiedliche Automorphismen
  unterschiedliche Kerne und damit unterschiedliche dg-Automorphismen fest.