eulersequenz.txt

Allgemein auf P^n: 0 --> Omega_1 --> O(-1)^(n+1) --> O --> 0

Auf P^0 = Spec k:

    0 --> Omega^1_(k/k) = 0 --> k --> k --> 0

http://mathoverflow.net/questions/5211/geometric-meaning-of-the-euler-sequence-on-mathbbpn-example-8-20-1-in-ch-ii/5270#5270


Habe die kanonische Abbildung

    mu : A_0^(n+1) ---> P^n,

welche eine lineare Abbildung

    Omega_(P^n) --> mu_* Omega_(A_0^(n+1))

induziert. Auf D(x_i) sieht die recht tautologisch aus:

    d(x_j/x_i) |--> d(x_j/x_i) = ...Quotientenregel...

Auf der rechten Seite sind die x_l einfach gewöhnliche Funktionen, weshalb ganz
normal die Quotientenregel anwendbar ist. Auch die Abbildung

    O_(P^n) --> mu_* O_(A_0^(n+1))

ist tautologisch: Sie zieht das nur als Einheit verstehbare Element x_j/x_i auf
den tatsächlichen Bruch der beiden Funktionen x_j und x_i zurück.



Die Abbildung Omega --> O(-1)^(n+1) sieht auf D(x_0) so aus:

    sum_{i=1}^n f_i(x_1/x_0,...,x_n/x_0) d(x_i/x_0)

wird geschickt auf

    sum_{i=1}^n f_i/x_0 e_i - (sum_{i=1}^n f_i x_i/x_0^2) e_0.

Auf diesen Term kommt man, wenn man die gegebene Differentialform auf A_0^(n+1)
zurückzieht und dann dort in der Basis dx_l, l = 0,...,n, entwickelt.


=== Globale k-Formen

Nach der Euler-Sequenz ist Omega eine Untergarbe von einer direkten Summe von
O(-1)'en und hat daher nur den Nullschnitt als globalen Schnitt.


=== Verallgemeinerung auf der Grassmannschen

Siehe grassmannsche.txt.


=== Auf Punkten

Betrachte X = P(V) zu einem Vektorraum V. Sei l eine Ursprungsgerade in V. Dann:

* O(-1)|_l = l

* O(1)|_l  = l^

* Omega(1)|_l = { phi : V --> k | phi = 0 auf l } = l^perp

Somit sieht die Eulersequenz

    0 --> Omega(1) --> V^ tensor O --> O(1) --> 0

in der Faser bei l so aus:

    0 --> l^perp --> V^ --> l^ --> 0.

Ungetwistet haben wir wohl sowas:

    0 --> Hom(V/l, l) --> Hom(V, l) = V^ tensor l --> Hom(l, l) = k --> 0.

Kann man auch sehr schön intern bestätigen (im großen Zariski-Topos).


=== Nächte Schritte

* Wie folgt, dass auch die höheren Omega^i nur den trivialen Schnitt als
  globalen Schnitt haben?

* http://www.math.purdue.edu/~dvb/preprints/book-chap17.pdf
  scheint Intuition/Geometrie zu haben.